Un breve repaso de geometría elemental
TriánguloDefinición: El triángulo es una figura plana limitada por tres segmentos (en este caso A, B y C).Perímetros y áreas: l1+l2+l3 ; (b.h)/2
CircunferenciaDefinición: La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están a igual distancia de otro fijo que se llama centro.El radio es la distancia que hay entre el centro y algún punto de la circunferencia.
Perímetros y áreas: 2.pi.r ; pi.r2
Geometría
Poligonos: Son figuras geométricas cerradas, formadas por segmentos de recta.
Si todos los lados y todos los ángulos del poligono son iguales el poligono se llama poligono regular.
Los polígonos mas importantes son, el triángulo y los cuadrilateros.
Triángulo
Cuadrilateros: Son poligonos que tienen cuatro lados.
Paralelogramos: Son cuadrilateros que tienen sus lados paralelos dos a dos. Son paralelogramos el rectángulo, el cuadrado y el rombo.
Trapecio: es un cuadrilatero que tiene dos lados paralelos.
Circunferencia: Es una linea cerrada que tiene la propiedad de que todos los puntos de esa linea estan a la misma distancia de un punto fijo (centro).
El segmento de recta que va desde el centro hasta la circunferencia se llama radio. El segmento de recta que va desde un punto de la circunferencia a otro pasando por el centro se llama diámetro.
Las circunferencias tienen una propiedad muy notable: Si medimos la longitud de una circunferencia y la dividimos por su diámetro siempre da el mismo número. A ese número le han dado el nombre de p.
La longitud de la circunferencia es 2 pr.
La superficie limitada por la circunferencia se llama círculo. El área del círculo es p r2.
La ecuación de una circunferencia de centro el origen de coordenadas es: x2 + y2 =R2.
Elipse: Es una linea cerrada que tiene la propiedad de que la suma de las distancias a dos puntos dados (focos) es constante.
El segmento de recta que une los dos puntos mas alejados se llama eje mayor (=2a).
El segmento de recta que une los dos puntos menos alejados se llama eje menor (=2b).
Centro es el punto de corte de los ejes.
Vértices son los cuatro puntos donde los ejes cortan a la elipse.
Focos son dos puntos, situados en el eje mayor, a igual distancia del centro y que cumplen la condición de que la suma de las distancias desde esos puntos a cualquier punto de la elipse, es constante (=2a).
El área de la superficie encerrada por la elipse es p ab.
La ecuación de una elipse es: x2/a2 + y2/b2 = 1.
En el espacio:
Poliedros: Son cuerpos con todas sus caras planas:
Prisma: Es un poliedro cuyas bases son poligonos iguales y las caras paralelogramos.
El segmento común a dos caras se llama arista.
Vértice es el punto de unión de dos aristas.
El prisma es recto si las aristas son perpendiculares a la base.
El prisma es regular si es recto y sus bases son ppligonos regulares.
El volumen de un prisma es el área de la base por la altura (V = A.h)
Paralelepipedo: Es un prisma cuyas pases son paralelogramos.
Piramide: Es un poliedro cuya base es un polígono y las caras son triángulos.
Una piramide es regular si la base es un polígono regular y la altura pasa por el centro.
El volumen de una piramide es 1/3 A.h.
Una piramide cuya es un triangulo se llama tetraedro.
Cuerpos con alguna cara curva:
Cilindro: Es el cuerpo que se genera cuando un segmento de recta se desplaza apoyandose en dos circunferencias iguales y paralelas.
El volumen de un cilindro es el área de la base por la altura (V = A.h)
Cono: Es el cuerpo que se genera cuando un segmento de recta se desplaza apoyandose en una circunferencia y en un punto (situado en un palno distinto a la circunferencia).
El volumen de cono es 1/3 A.h.
Esfera: Es la superficie que tiene la propiedad de que todos sus puntos estan a la misma distancia (radio) de un punto (centro).
El área de la esfera es 4p r2.
El volumen de la esfera es 4/3p r3.
La ecuación de una esfera es: x2 + y2 + z2 = r2
GEOMETRIA
La geometría es una parte de la matematica que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como poligonos o poliedros.
En la practica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teorica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir areas y volumenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías.
La geometria clásica o axiomática es una matemática en la cuál los objetos, en vez de ser números, son puntos, rectas, planos y otras figuras definidas en función de estas.
FIGURAS GEOMETRICAS
El avance de la geometría depende fuertemente del avance en las definiciones, las propiedades de los triangulos son posibles de enunciar sin hacer referencia a estos, pero sería un proceso largo tedioso e inútil.
Figuras fundamentales: Punto, Recta y Plano.
En la recta se pueden ver: Segmentos, semirectas y vectores
En el plano, una recta determina dos semiplanos, su intersección determina las figuras convexas: faja, Ángulo, Triángulo, cuadrángulo y Polígono.
Utilizando el concepto de distancia: se definen: el círculo y la esfera.
Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro, y los poliedros. Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelepipedo.
El concepto de círculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro
RELACIONES Y PROPIEDADES
Entre dos o más figuras puede haber relaciones diferentes, dos rectas pueden ser paralelas, perpendiculares o oblicuas (se cortan en un punto formando angulos no rectos). En el espacio, también pueden ser alabeadas (o cruzadas). Uno de los conceptos más importantes dentro de la geometría es el de congruencia o igualdad.
CLASES DE GEOMETRIAS
Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías (en las cuales todo lo dicho hasta aquí es válido). Si damos por cierto el axioma del paralelismo de Euclides, obtenemos la Geometría euclidiana también conocida como geometría plana.
Agregando a estos los axiomas relativos al espacio, obtenemos la geometría espacial (estos últimos no son más que extensiones de los axiomas relativos al plano). La Geometría descriptiva, es la que se encarga de que los problemas posibilitar la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano.
Si agregamos otros axiomas, ya sean diferentes postulados de paralelismo o de existencia de conjuntos de puntos mayores que el plano (y menores que el espacio) se obtienen las geometrías no euclídeas
Útilizando los conocimientos de otras areas (y por lo tanto sus axiomas respectivos), se obtienen: la Geometría analítica, los métodos del álgebra y del análisis matemático.